Question

Daca a,b € (0; infinit), Sa se arate ca 2ab supra a+b < sau egal cu radical din ab < sau egal cu a+b supra 2

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

I)

$\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}\\ 2ab \leq (a+b) \sqrt{ab} \\4a^{2}b^{2} \leq (a+b)^{2}*ab\\4ab \leq a^{2} + 2ab + b^{2}\\0 \leq a^{2} - 2ab + b^{2}\\0 \leq (a-b)^{2}$

Ultima inecuatie este evidenta

$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \\ 2\sqrt{ab} \leq a + b\\4ab \leq (a + b)^{2}\\4ab \leq a^{2} + 2ab + b^{2}\\0 \leq a^{2} - 2ab + b^{2}\\0 \leq (a-b)^{2}$

Ultima inegalitate este, din nou, evidenta