Question

Daca aˣ+bˣ+cˣ+dˣ ≥ 4, ∀ x∈R, a,b,c,d>0,
sa se arate ca abcd=1

Answer 1

Răspuns:

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=a^x+b^x+c^x+d^x$.

Se observă că $f(0)=4$.

Deci inegalitatea din enunț se scrie

$f(x)\ge f(0), \ \forall x \in\mathbb{R}$

Rezultă că $x=0$ este punct de minim. Funcția este derivabilă pe R, deci și în punctul $x=0$. Atunci, conform teoremei lui Fermat, $f'(0)=0$.

$f'(x)=a^x\ln a+b^x\ln b+c^x\ln c+d^x\ln d\Rightarrow\\\Rightarrow 0=f'(0)=\ln a+\ln b+\ln c+\ln d=\ln(abcd)\Rightarrow abcd=1$

Explicație pas cu pas: