Question

Daca a, b, c, sunt numere reale pozitive, sa se demonstreze ca:
a) (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
b) a(b²+c²)+ b(a²+c²) c(a²+c²) ≥6abc
c) 2(a³+b³+c³)≥(a+b) ab+(b+c) bc+(a+c) ac.

Answer 1

a)
[tex]a+b \geq 2 \sqrt{ab} \; (pe \; baza \; Ma \geq Mg) \\ b+c \geq 2 \sqrt{bc} \; (pe \; baza \; Ma \geq Mg) \\ c+a \geq 2 \sqrt{ca} \; (pe \; baza \; Ma \geq Mg) \\ \\ Deci (a+b)(b+c)(c+a) \geq 2 \sqrt{ab} \cdot 2 \sqrt{bc} \cdot 2 \sqrt{ca}=8abc. [/tex]

b)
[tex]b^{2}+c^{2} \geq 2bc \; (pe \; baza \; Ma \geq Mg) \\ a^{2}+c^{2} \geq 2ac \; (pe \; baza \; Ma \geq Mg) \\ a^{2}+b^{2} \geq 2ab \; (pe \; baza \; Ma \geq Mg) \\ \\ Deci \; a(b^{2}+c^{2}) \geq 2abc, \; b(a^{2}+c^{2}) \geq 2abc \; si \; c(a^{2}+b^{2}) \geq 2abc,\\ pe \; care \; insumandu-le \; obtinem \; inegalitatea \; din \; enunt.[/tex]

c)
[tex]a^{3}+b^{3} = (a+b)(a^{2}+b^{2}-ab) \geq (a+b)(2ab-ab)=(a+b)ab. \\ Analog: b^{3}+c^{3} \geq (b+c)bc \; si \; c^{3}+a^{3} \geq (c+a)ca. \\ \\ Insumand \; cele \; 3 \; inegalitati \; de \; mai \; sus, \\ obtinem \; inegalitatea \; din \; enunt.[/tex]