Question

Daca ABCD este un tetraedru regulat , atunci masura unghiului dintre ab si cd cat este? Cu demonstratie, va rog

Answer 1

Tetraedrul regulat are patru fete, fiecare dintre ele fiind triunghi echilateral. Dreptele AB si CD nu sunt in acelasi plan. Sunt doua drepte in spatiu.
Masura unghiului a doua drepte in spatiu este unghiul ascutit care se formeaza ducand printr-un punct al uneia din cele doua drepte o paralela la cealalta dreapta.
Deci punctul poate fi oricare. Ca sa ne fie mai clar si mai usor noi vom duce inaltimea din varful B pe latura CD a triunghiului BCD, pe care l-am luat ca baza a tetraedrului. In A am considerat ca se afla varful tetraedrului (asta ca sa intelegi si sa poti face desenul).
Sa notam cu M piciorul inaltimii pe latura CD.
Prin M ducem o paralela la latura AB
Unghiul cerut de problema va fi cel format de aceasta paralela(pe care o notam cu d) cu latura CD.
AM fiind inaltime, este si mediatoare in ΔBCD (echilateral). Deci CM=MD. Atunci AM este mediatoare si in triunghiul ACD (echilateral si el) si deci si inaltime. Daca AM este inaltime, AM⊥CD Dar si BM este inaltime Deci si BM⊥CD.
Revenim si observam ca AB si d formeaza planul ABM, in care se afla atat AM cat si BM, ambele perpendiculare pe CD. Atunci inseamna ca CD este perpendiculara pe planul ABM.
Dreapta d este si ea in planul ABM si are punct comun cu dreapta CD( punctul M). Atunci, cum CD este perpendiculara pe planul ABM este perpendiculara pe oricare dreapta ce apartine planului si care trece prin punctul M in care dreapta CD inteapa planul.
Inseamna ca CD este perpendiculara pe d
Rezulta ca unghiul cerut de problema are 90°