Question

Daca I este centrul cercului inscris in triunghiul ABC sa se demonstreze ca AI=4RsinB/2sinC/2

Answer 1

În triunghiul AIB aplicăm teorema sinusurilor:

$\it \dfrac{AI}{sin\dfrac{B}{2}} = \dfrac{AB}{sin(AIB)} \Rightarrow AI = \dfrac{AB sin\dfrac{B}{2}}{sin(AIB)} \qquad (1)$

În triunghiul AIB avem:

$\it\widehat{AIB} = 180^o-\dfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2} = 180^o-\dfrac{180^o- \hat{C}}{2} = 180^o-90^o+\dfrac{\hat{C}}{2} = \\ \\ \\ = 90^o+\dfrac{\hat{C}}{2} \Rightarrow sin(\widehat{AIB}) = sin(90^o+\dfrac{\hat{C}}{2}) = cos\dfrac{C}{2} \ \ \ \ \ \ (1)$

Cu teorema sinusurilor în triunghiul ABC, avem :

$\it \dfrac{AB}{sinC} = 2R \Rightarrow AB = 2R sinC= 2R\cdot2sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{C}{2} = 4Rsin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{C}{2}\ \ \ \ \ \ (3) \\ \\ \\ (1),\ (2),\ (3) \Rightarrow AI = \dfrac{4Rsin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{C}{2}sin\dfrac{B}{2}}{cos\dfrac{C}{2}} \Rightarrow AI = 4Rsin\dfrac{B}{2} sin\dfrac{C}{2}$