Question

Dacă mulțimea A={x € R/ |15- E(x)| ≤ 10} Calculați A ∩ Z știind ca E(x)= -10x-5​

Answer 1

Răspuns:

A ∩ Z = {-1, 0, 1}

Explicație pas cu pas:

Pentru a calcula mulțimea A ∩ Z, trebuie să găsim intersecția dintre mulțimea A și mulțimea numerelor întregi Z. În primul rând, trebuie să determinăm care sunt numerele reale x care aparțin mulțimii A, folosind definiția dată:

A = {x ∈ R/ |15 - E(x)| ≤ 10}

Pentru a găsi aceste numere reale, trebuie să analizăm modulul diferenței dintre 15 și E(x):

|15 - E(x)| ≤ 10

Putem rescrie această inegalitate ca două inegalități separate:

-10 ≤ 15 - E(x) ≤ 10

Putem rezolva această dublă inegalitate pentru E(x):

5 ≥ E(x) ≥ -5

Acum putem găsi mulțimea A:

A = {x ∈ R/ -5 ≤ E(x) ≤ 5}

Dar știm că E(x) = -10x - 5, deci putem rescrie această expresie și să o folosim pentru a găsi mulțimea A:

-5 ≤ -10x - 5 ≤ 5

0 ≤ -10x ≤ 10

Această inegalitate este echivalentă cu:

-1 ≤ x ≤ 1

Deci, mulțimea A este:

A = {x ∈ R/ -1 ≤ x ≤ 1}

Pentru a găsi A ∩ Z, trebuie să găsim intersecția dintre mulțimea A și mulțimea numerelor întregi Z. Deoarece mulțimea A conține doar numere reale între -1 și 1, putem să vedem că mulțimea A ∩ Z conține doar numerele întregi -1, 0 și 1:

A ∩ Z = {-1, 0, 1}

Answer 2

$\it |15-E(x)|\leq10 \Rightarrow |15+10x+5|\leq10 \Rightarrow |10x+20|\leq10 \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow |10(x+2)|\leq10 \Rightarrow 10\cdot|x+2|\leq10\bigg|_{:10} \Rightarrow |x+2|\leq1 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow -1\leq x+2\leq1\bigg|_{-2} \Rightarrow -3\leq x\leq-1 \Rightarrow A=[-3,\ -1]\\ \\ \\ A\cap \mathbb{Z}=\{-3,\ -2,\ -1\}$