Question

daca sin x=2/3, x€(pi/2,pi) si cos y=4/5, y€(3pi/2,2pi) at calc. tg x+2 ctg y
​

Answer 1

Răspuns:

$\frac{6\sqrt{5}-40 }{15}$

Explicație pas cu pas:

Problemele de genul se rezolvă folosind Formula Fundamentală a Trigonometriei (FFT): $sin^{2}x$+$cos^{2} x$=1.

sin x=$\frac{2}{3}$, iar dacă ridicăm la pătrat obținem că $sin^{2}x=\frac{4}{9}$. De aici rezultă că $cos^{2}x=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$. Dacă scoatem radicalul, obținem că $|cos x|=\frac{\sqrt{5} }{3}$. x se află în intervalul (π/2,π), adică în cadranul I, deci modulul este pozitiv. Atunci $cos x=\frac{\sqrt{5} }{3}$. Deci, $tgx=\frac{sinx}{cosx} =\frac{\frac{2}{3} }{\frac{\sqrt{5} }{3} } =\frac{2}{\sqrt{5} }=\frac{2\sqrt{5} }{5}$.

cos y=$\frac{4}{5}$, iar dacă ridicăm la pătrat obținem $cos^{2} y=\frac{16}{25}$. De aici rezultă că $sin^{2}y=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$. Dacă scoatem radicalul, obținem că $|sin y|=\frac{3}{5}$. y se află în intervalul (3π/2,2π), adică în cadranul IV, deci modulul este negativ. Atunci $siny=-\frac{3}{5}$. Deci, $ctgy=\frac{cosy}{siny} =\frac{\frac{4}{5} }{-\frac{3}{5} } =-\frac{4}{3}$.

În final, $tgx+2ctgy=\frac{2\sqrt{5} }{5}-\frac{8}{3} =\frac{6\sqrt{5}-40 }{15}$.