Question

Dacă tot m-am lămurit cu exercițiul anterior, aș dori și o explicație la acesta. Am încercat să-l abordez în multe feluri, de la aducerea la același ordin al radicalilor, până la a scrie sub altă formă ce este sub radical. Poate am greșit la calcule sau poate nu am procedat ok. Aștept o părere concretă ! Cheers, mates ! :)

Answer 1

Ideea este să observi că

$3+ \sqrt{5}= (\sqrt{5}-1 )( \sqrt{5} +2 )$

Iar

$7-3 \sqrt{5}= (\sqrt{5}-1 )( \sqrt{5} -2 )$

(Poți verifica înmulțind parantezele)

Astfel, ecuația devine:

[tex]a= \sqrt{(\sqrt{5}-1)( \sqrt{5} +2)} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}-1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{5}-1)( \sqrt{5} -2)} [/tex]

Ridicăm totul la a 6-a:

[tex]a^6= (\sqrt{5}-1 )^3 \cdot ( \sqrt{5} +2)^3 \cdot (\sqrt{5}-1)^2 \cdot (\sqrt{5}-1) \cdot ( \sqrt{5} -2)} \\\\ a^6=(\sqrt{5}-1)^{3+2+1} \cdot ( \sqrt{5} +2)^2 \cdot ( \sqrt{5} +2) ( \sqrt{5} -2)[/tex]

Înmulțim ultimele două paranteze după formula $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ și ne dă:

$a^6=(\sqrt{5}-1)^{6} \cdot ( \sqrt{5} +2)^2 \cdot 1$

Aplicăm ambilor membri radical de ordin 6:

$a=(\sqrt{5}-1) \sqrt[3]{\sqrt{5} +2}$

Introducem totul sub radical:

$a=\sqrt[3]{(\sqrt{5}-1)^3 \cdot (\sqrt{5} +2) }$

Ridicăm paranteza la a 3-a, după formula $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ și obținem:

[tex]a=\sqrt[3]{(5\sqrt{5}- 3\cdot 5+3 \sqrt{5}-1 ) \cdot (\sqrt{5} +2) }\\\\ a=\sqrt[3]{(8\sqrt{5}-16 ) \cdot (\sqrt{5} +2) }\\\\ a=\sqrt[3]{8(\sqrt{5}-2 ) \cdot (\sqrt{5} +2) }\\\\ a= \sqrt[3]{8} \\\\ a=2 \in \mathbb Q ~~\checkmark[/tex]

Acum, revenind la început, poate că te întrebi cum mi-am dat seama în ce se descompun acele numere. 

De exemplu, pentru primul, am plecat de la premisa că:

$3+ \sqrt{5}=( \sqrt{5}+a)( \sqrt{5}+b )$

Așa că am încercat să aflu a și b.

Pentru început am înmulțit parantezele:

$3+1 \cdot \sqrt{5}=5+ab+(a+b) \sqrt{5}$

Acum, ca numărul din stânga să fie egal cu cel din dreapta, înseamnă că:

$5+ab=3 \Rightarrow ab=-2$

și 

$a+b=1$

Acum, avem două numere (a și b). Știm produsul și suma lor. De-asta, folosindu-ne de relațiile lui Viete, putem alcătui o ecuație de gradul al doilea ale cărei soluții sunt a și b.

$X^2-SX+P=0$

Unde S este suma și P produsul.

Deci ecuația va fi:

$X^2-1\cdot X-2=0 \Leftrightarrow X^2-X-2=0$

Soluțiile ei sunt -1 și 2, deci a=-1 și b=2.

Astfel:

$3+ \sqrt{5}=( \sqrt{5}+a)( \sqrt{5}+b )=( \sqrt{5}-1)( \sqrt{5}+2)$

La fel poți face și pentru $7-3 \sqrt{5}$.