Question

Dacă x,y sunt numere reale pozitive ,sa se arate ca:
a) x^3+y^3 > sau egal x^2y+xy^2
b) x supra y^2+y supra x^2 > sau egal 1 supra x+ 1 supra y

Answer 1

o sa notez cu >=  ( mai mare sau egal)
daca x sau y este 0 => rezulta >=0
pt x,y diferit de 0:
 x^3+y^3 > =x^2y+xy^2 <=>

<=>x^3+y^3 -x^2y+xy^2 >=0 <=>
<=>(x+y)*(x^2+y^2 -xy) -xy*(x+y)>=0 <=>
<=>(x+y)*(x^2+y^2-2xy) >=0 <=>
<=>(x+y)*(x-y)^2 >=0  (A) (prima paranteza ai o suma de termeni pozitivi, iar a doua ai un patrat)

b) x,y nu pot fi 0 (ai la numitor) => x,y>0
=> cum ai numere pozitive nenule, inmultim toata ecuatia cu x^2 *y^2 si se obtine:

x^3+y^3>=xy^2+yx^2 (exact punctul a))