Question

Daca x,y,z sunt nr reale pozitive sa se arate ca:
(x + y) (y + z) (z+x) >sau egal cu 8xyz
​

Answer 1

(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz

$x {}^{2} y + x {}^{2} z + xz {}^{2} + yz {}^{2} + y {}^{2} z + y {}^{2} x + 2xyz - 8xyz \geqslant 0$

$x {}^{2} y - 2xyz + z {}^{2} x + x {}^{2} z - 2xyz + y {}^{2} z + y {}^{2} x - 2xyz + z {}^{2} x \geqslant 0$

Pe urma le grupam

$(x \sqrt{y} - z \sqrt{x} ) {}^{2} + (x \sqrt{z} - y \sqrt{z} ) {}^{2} + (y \sqrt{x} - z \sqrt{x} ) {}^{2} \geqslant 0$

Din moment ce toate nr sunt la puterea a doua, atunci toate sunt pozitive, rezultand faptul ca suma lor este ≥0