Question

Daca x,y,z sunt numere reale pozitive,sa se arate ca:
a)(x+y)(y+z)(z+x)mai mare sau egal decat 8xyz
b)(xy+1)(yz+1)(zx+1)=mai mare sau egal decât 8xyz

Answer 1

Răspuns:

a)

Aplici inegalitatea mediilor ,media aritmetica ≥media geometrica

(x+y)/2≥√xy=>

(x+y)≥2√xy

Analog

y+z≥2√yz

(z+x)≥2√zx

Inmultesti cele 3 inegalitati

(x+y)(y+z)(z+x)≥2*2*2*√x²y²z²=>

(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz

-----------------------------------------

b)Aceiasi inegalitate

(xy+1)/2≥√xy

xy+1≥2√xy

yz+1>2√yz

zx+1≥2√zx

Inmultesti tooate tri inegalitati

(xy+1)(yz+1)(zx+1)≥2*2*2√xy*√yz*√zx=8√x²y²z²=8xyz

Explicație pas cu pas: