Question

Dacă x,y,z sunt numere reale pozitive,sa se arate ca:
b)x+y+zmai mic sau egal radical xy +radical yz +radical xz
c)(x+1)(y+1)(x+z)(y+z)mai mic sau egal 16xyz

Answer 1

a)din inegalitatea mediilor avem x+y/2>=rad xy, x+z/2>=rad xz si y+z/2>=rad yz
le adunam si obtimem 2x+2y+2z/2>=rad xxyyzz adica

 x+y+z mai mare sau egal radical xy +radical yz +radical xz

b) la fel
din inegalitatea mediilor avem x+1/2>=rad x, y+1>=rad y, x+z/2>=rad xz si y+z/2>=rad yz
le inmultim si obtimem
(x+1)(y+1)(x+z)(y+z)/16 mai mare sau egal xyz
adica
(x+1)(y+1)(x+z)(y+z)mai mare sau egal 16xyz