Question

Dacă x1,x2 sunt rădăcina ecuației x^2-x-1=0, sa se calculeze:
x1^2+3x1-2/x1^2-2x1+2 + x2^2+3x2-2/x2^2-2x2+2

Answer 1

Scriem relatiile lui Viete:
x1+x2=1
x1x2=-1

a=[(x1^2+3x1-2)(x2^2-2x2+2)+(x2^2+3x2-2)(x1^2-2x1+2)]/(x1^2-2x1+2)(x2^2-2x2+2)

Sa calculam separat numaratorul lui a:
(x1^2+3x1-2)(x2^2-2x2+2)+(x2^2+3x2-2)(x1^2-2x1+2)=
=(x1x2)^2-2x1^2x2+2x1^2+3x1x2^2-6x1x2+6x1-2x2^2+4x2-4+(x1x2)^2-2x1x2^2+2x2^2+3x1^2x2-6x1x2+6x2-2x1^2+4x1-4=
=2(x1x2)^2-8+10(x1+x2)-12x1x2-2(x1^1+x2^2)+2(x1^2+x2^2)+3x1x2(x1+x2)-2x1x2(x1+x2)=
=2(x1x2)^2-12x1x2+10(x1+x2)+3x1x2(x1+x2)-8-2x1x2(x1+x2)=
=2(x1x2)^2-12x1x2+10(x1+x2)+x1x2(x1+x2)-8=
=2(-1)^2-12*(-1)+10*1+(-1)*1-8=
=2+12+10-1-8=
=15

Calculam separat si numitorul:
(x1^2-2x1+2)(x2^2-2x2+2)=
=(x1x2)^2-2x1^2x2+2x1^2-2x1x2^2+4x1x2-4x1+2x2^2-4x2+4=
=(x1x2)^2-2x1x2(x1+x2)+4x1x2+2(x1^2+x^2)-4(x1+x2)+4=
=(-1)^2-2*(-1)*1+4*(-1)+2[(x1+x2)^2-2x1x2]-4*1+4=
=1+2-4+2[1-2*(-1)]-4+4=
=1+2-4+2*(1+2)=
=1+2-4+4=
=1+2=
=3

Deci a va fi:
a=15/3=5

Answer 2

[tex]\it x^2-x-1=0\ \ \ \ \ (1) [/tex]

Din relațiile lui Viète, rezultă:

[tex]\it \begin{cases} \it x_1+x_2=1 \\ \\ x_1x_2=-1\end{cases} \ \ \ \ \ (2)[/tex]

[tex]\it (1) \Rightarrow x^2 = x+1 \ \ \ \ \ \ (3) [/tex]

[tex]\it x_1,\ x_2\ \ r\breve{a}d\breve{a}cini\ pentru\ (1) \Rightarrow \ (3)\ devine: \\ \\ \begin{cases} \it x_1^2= x_1+1 \\ \\ \it x_2^2=x_2+1\end{cases} \ \ \ \ (4) [/tex]

(4)  ⇒ prima fracție din enunț  devine :

$\it \dfrac{x_1+1+3x_1-2}{x_1+1-2x_1+2} = \dfrac{4x_1-1}{-x_1+3}$

Analog, a doua fracție din enunț devine :

$\it \dfrac{x_2+1+3x_2-2}{x_2+1-2x_2+2} = \dfrac{4x_2-1}{-x_2+3}$

Acum, expresia din enunț devine:


[tex]\it \dfrac{4x_1-1}{-x_1+3} + \dfrac{4x_2-1}{-x_2+3} = \dfrac{4x_1-1}{3 -x_1} + \dfrac{4x_2-1}{3-x_2} = \\ \\ \\ = \dfrac{12x_1-3-4x_1x_2+x_2+12x_2 -3-4x_1x_2+x_1}{9-3x_2-3x_1+x_1x_2} = \\ \\ \\ = \dfrac{13(x_1 + x_2) -8x_1x_2 -6}{9-3(x_2+x_1)+x_1x_2} \stackrel{(2)}{=}\dfrac{13+8-6}{9-3-1} = \dfrac{15}{5} =3 [/tex]