DAU 100 PUNCTE
DAU COROANA
Pe terenul de sport al unei şcoli este desenat un cerc mare și în interiorul lui sunt desenate 25 de cercuri numerotate 1,2,3....,24 pe care elevii practică un joc următoarele reguli:
La start, jucătorul este în cercul cu numărul 0 și trebuie să sară, în sensul acelor de ceasornic, în cercul cu numărul 3 sau în cercul cu numărul 4.
În fiecare pas al jocului, din cercul în care a ajuns jucătorul trebuie să sară, în sensul acelor de ceasornic, în cercul care are numărul cu 3 sau cu 4 mai mare decât numărul cercului în care este.
Ca să câștige jocul, jucătorul trebuie să-și aleagă pașii jocului astfel încât, după ce parcurge de două ori circuitul, în ultimul pas să ajungă în cercul cu numărul 0.
De exemplu, dacă notăm numerele cercurilor prin care a trecut jucătorul, un traseu care are lungimea 13 pași este 0,3,6,10,14,18,22,1,5,9,13,17,21,0.
Dați exemplu de un traseu care are lungimea 14 pași. Pentru aceasta scrieți, ca în exemplul prezentat, numerele cercurilor prin care trebuie să treacă jucătorul.
Determinați numărul maxim de pași pe care poate să-l aibă un traseu câștigător. (Justificați răspunsul.)
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
maxim 16
Explicație pas cu pas:
▪︎ traseu care are lungimea 14 pași:
0, 4, 7, 11, 15, 19, 23, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 0
pașii au fost: 0+4=4+3=7+4=11+4=15+4=19+4=23+4=2+4=6+4=10+4=14+4=18+4=22+3=0
▪︎ numărul maxim de pași pe care poate să-l aibă un traseu câștigător se obține când sare de cele mai multe ori în cercul care are numărul cu 3 mai mare decât numărul cercului în care este
▪︎ dacă ar sări din cerc în cerc, în total ar 50 de sărituri, începând cu cercul numerotat 0 și terminând tot în cercul numerotat 0
▪︎ 50 nu este divizibil cu 3, deci trebuie să sară de câteva ori și în cercul care are numărul cu 4 mai mare decât numărul cercului în care este
50 = 3×16 + 2
din 16 sărituri de 3 care ar fi posibile (dar care nu termină traseul), două le folosim pentru săriturile de 4:
50 = 3×14 + 4×2 = 42 + 8
→ numărul maxim de pași pe care poate să-l aibă un traseu câștigător: 14 + 2 = 16
▪︎ exemplu traseu din 16 pași:
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 21, 0