Question

Dau coroana! Ajutor!
f:R->R, f(x)= x/ rad x^2 +1
Demonstrati ca pentru orice nr real a, a (-1,1) , f(x)=a are solutie unica

Answer 1

f:R->R, f(x)=x/rad(x^2+1).

Fie g:R->R, g(x)=f(x)-a.

g'(x)=(rad(x^2+1)-(x^2)/rad(x^2+1))/(x^2+1).
g'(x)=0 <=> rad(x^2+1)-(x^2)/rad(x^2+1)=0 <=> x^2+1-x^2=0 <=> 1=0, fals.

Cum ecuatia g'(x)=0 NU are solutie in R si g'(0)=1>0, rezulta ca g'(x)>0, oricare ar fi x apartine R. => g este strict crescatoare. => Ecuatia g(x)=0 <=> f(x)=a are cel mult o solutie. Din f(x)=a se obtine ca x=a/rad(1-a^2) este solutie daca a apartine (-1,1). => Pentru a apartine (-1,1) ecuatia f(x)=a are solutie unica, ceea ce trebuia demonstrat.