Question

Dau coroana celui mai bun răspuns! ​

Answer 1

Răspuns:

$\overline{7a_1\ldots a_k}=5\cdot \overline{a_1\cdots a_k 7}$ implica $a_k=5$ sau $a_k=0$.

Daca $a_k=0$, nu puteam avea

$\overline{7a_1\cdots a_{k-1}0}=5\cdot \overline{a_1a_2\cdots 07}$

pentru ca ultima cifra a numarului din dreapta este 5.

Pentru k=1,  $75\neq 5\cdot 57$.

Pentru k=2, $\overline{7a_15}=5\cdot\overline{a_157}$ implica

$705+10a_1=500a_1+5\cdot 57$ deci $10a_1=705-285=520$ adica $a_1=5,2$ ceea ce e imposibil.

Pentru k=3, $\overline{7a_1a_25}=5\cdot\overline{a_1a_257}$ implica

$7005+100a_1+10a_2 = 5000a_1+500a_2+285$ de unde

$490(10a_1+a_2)=7005-285=6720$, ceea ce nu se poate.

In general, daca $\overline{7a_1\ldots a_{k-1}5}=5\cdot\overline{a_1\ldots a_{k-1}57}$ rezulta

$7\cdot 10^{k}+5+10(a_{k-1}+10a_{k-2}+\cdots) = 500(a_{k-1}+10a_{k-2}+\cdot)+285$ de unde

$7\cdot 10^k - 280 = 490(a_{k-1}+10a_{k-2}+\cdots)$

deci $10^{k-1}-4=7(a_{k-1}+10a_{k-2}+\cdots)$

Cel mai mic numar natural k pentru care $7|10^{k-1}-4$ este 5 si avem $10^4-4 = 7\cdot 1428$ deci $a_4+10a_3+100a_2+1000a_1=1428$ deci $a_4=8,a_3=2,a_2=4,a_1=1$

Prin urmare, numarul cautat este: $714285=5\cdot 142857$

Answer 2

Am atasat o rezolvare.