Question

De ce elementele geometrice sunt numite linii importante în triunghi?

Answer 1

      Bisectoarele unghiurilor unui triunghi

Bisectoarea unui unghi este o semidreaptă situată în interiorul unghiului, cu originea în vârful unghiului și care formează cu laturile acestuia două unghiuri congruente.

Cu alte cuvinte, bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri cu măsurile egale. (Vezi și lecția Bisectoarea unui unghi.)

Proprietatea punctelor situate pe bisectoarea unui unghi

Orice punct situat pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului.

Are loc și reciproca acestei proprietăți:

Dacă un punct este egal depărtat de laturile unui unghi, atunci el este situat pe bisectoarea unghiului.

Dar ce înseamnă că un punct este egal depărtat de laturile unghiului? Înseamnă că distanțele de la acel punct la laturile unghiului sunt egale, prin distanță înțelegând perpendiculara din punctul respectiv pe laturile unghiului. În figura de mai jos, OS este bisectoarea unghiului AOB, iar M este un punct oarecare, situat pe această bisectoare. Ducem din M două perpendiculare: MN⊥OA și MP⊥OB. Prin urmare, d(M,OA)=MN și d(M,OB)=MP. Atunci, conform proprietății de mai sus, avem că MN=MP.