Question

Deci.Fara deci, am nevoie de ajutor.Cum se rezolva urmatoarele probleme + explicati!(la ambele)
1.
f: R->R , f(x)=5x-10
Studiati injectivitatea si surjectivitatea

2. f,g : R->R
f(x)=3x-1



         {x+1, x< sau = 2      (asta + cel de jos sunt de la g(x)
g(x)=
         {2x+3, x >2          (!!)



Explicatie obligatorie sau formule.Maine trebuie sa raspund sa nu raman corigent :)) Merci. <3

Answer 1

1. Mai intai, sa aratam ca f este injectiva. In esenta, injectivitatea inseamna ca duce elemente diferite din domeniu in elemente diferite din codomeniu, ceea ce este echivalent cu faptul ca daca functia da aceeasi valoare pentru 2 elemente, atunci ele sunt egale.
Pentru $f(x) = 5x-10$, fie $x,y\epsilon \mathbb{R}$ astfel incat $f(x)=f(y)$, adica avem:
$5x - 10 = 5x - 10$
de unde rezulta imediat prin calcul ca $x=y$, deci functia noasta este injectiva.
Surjectivitatea inseamna ca pentru orice valoare din codomeniu, avem un element din domeniu care este dus prin functia noastra in valoarea din codomeniu.
Fie $y\epsilon\mathbb{R}$ (din codomeniu). Acum trebuie sa aratam ca avem un element in domeniul functiei care este dus in y. Sa luam $x=\frac{y+10}{5}$. Atunci:
$f(x) = 5\frac{y+10}{5} -10$
iar din calcul rezulta ca $f(x)=y$, deci functia este surjectiva.
Pentru al doilea exercitiu, facem mai intai $f\circ g$. Avem:
$(f \circ g)(x)=f(g(x)) = 3g(x)-1= \left \{ {{3(x+1)-1, x \leq 2} \atop {3(2x+3)-1, x\ \textgreater \ 2}} \right.$
Facand calculele mai departe se obtine rezultatul dorit. Acum, pentru $g \circ f$.
$(g \circ f)(x)= \left \{ {{f(x)+1, f(x) \leq 2} \atop {2f(x)+3, f(x)\ \textgreater \ 2}} \right. = \left \{ {{3x-1+1, 3x-1 \leq 2} \atop {2(3x-1)+3, 3x-1\ \textgreater \ 2}} \right.$
De aici, doar faci calculele ca sa o aduci la o forma mai simpla si s-a rezolvat problema.