DEF are «D=‹F=30°, iar
inältimea din E are lungimea
4 cm. Calculeazà distanta de
la ortocentrul acestui triunghi
la mijlocul lui DF.
Răspunsuri la întrebare
Ai figura atașată.
Notăm piciorul înălțimii din E pe DE cu M.
Observăm că ΔDEF este obtuzunghic isoscel, deoarece:
- ∡EDF ≡ ∡ EFD (= 30°)
- ∡DEF = 180° - 2 · 30° = 180° - 60° = 120°
⇒ ortocentrul ΔDEF este în afara triunghiului
Construim ortocentrul astfel:
- prelungim laturile DE și FE
- ducem înălțimile din D și din E și notăm intersecțiile cu laturile EF și DE cu N, respectiv P
- prelungim aceste înălțimi până se intersectează și notăm ortocentrul astfel obținut cu H
- prelungim înălțimea EM până în H
Aflăm mijlocul lui DF:
ΔDEF isoscel cu baza DF și EM înălțime ⇒ EM mediană
⇔ M este mijlocul lui DF
⇒ distanța de la ortocentrul H la mijlocul lui DF este lungimea segmentului HM
deoarece E ∈ HM și EM înălțime și mediană în ΔDEF ⇒
⇒ HM înălțime și mediană în ΔHDF
⇒ ΔHDF este isoscel cu baza DF
De aici încolo lucrăm pe ΔHDF, urmând a calcula lungimea lui HM.
Să vedem dacă nu cumva ΔHDF este și echilateral.
Pentru aceasta ar trebui să verificăm dacă măcar unul din unghiuri este de 60°.
m(∡PEF) = 180° - m(∡DEF) = 180° - 120° = 60°
DP înălțime ⇒ în ΔPEF dreptunghic
⇒ m(∡PFE) = 180° - 90° - 60° = 30°
⇒ m(∡PFD) = m(∡HFD) = m(∡EFD) + m(∡PFE) = 30° + 30° = 60°
⇒ ΔHDF isoscel cu un unghi de 60°
⇔ ΔHDF echilateral
Știm că într-un triunghi echilateral liniile importante duse din același vârf coincid.
cum DP, FN și HM sunt înălțimi (prin construcție) ⇒ DP, FN și HM sunt și mediane în ΔHDF
⇒ E este centrul de greutate al ΔHDF
Știm că centrul de greutate se află pe mediană la două treimi de vârf și o treime de bază.
⇒ EM = HM / 3
⇔ HM = 3 · EM
HM = 3 · 4 cm = 12 cm
Răspunsul final:
distanța de la ortocentrul ΔDEF la mijlocul lui DF este HM = 12 cm