Question

DEF are «D=‹F=30°, iar
inältimea din E are lungimea
4 cm. Calculeazà distanta de
la ortocentrul acestui triunghi
la mijlocul lui DF.

Answer 1

Ai figura atașată.

Notăm piciorul înălțimii din E pe DE cu M.

Observăm că ΔDEF este obtuzunghic isoscel, deoarece:

1. ∡EDF ≡ ∡ EFD (= 30°)
2. ∡DEF = 180° - 2 · 30° = 180° - 60° = 120°

⇒ ortocentrul ΔDEF este în afara triunghiului

Construim ortocentrul astfel:

1. prelungim laturile DE și FE
2. ducem înălțimile din D și din E și notăm intersecțiile cu laturile EF și DE cu N, respectiv P
3. prelungim aceste înălțimi până se intersectează și notăm ortocentrul astfel obținut cu H
4. prelungim înălțimea EM până în H

Aflăm mijlocul lui DF:

ΔDEF isoscel cu baza DF și EM înălțime ⇒ EM mediană

⇔ M este mijlocul lui DF

⇒ distanța de la ortocentrul H la mijlocul lui DF este lungimea segmentului HM

deoarece E ∈ HM și  EM înălțime și mediană în ΔDEF ⇒

⇒ HM înălțime și mediană în ΔHDF

⇒ ΔHDF este isoscel cu baza DF

De aici încolo lucrăm pe ΔHDF, urmând a calcula lungimea lui HM.

Să vedem dacă nu cumva ΔHDF este și echilateral.

Pentru aceasta ar trebui să verificăm dacă măcar unul din unghiuri este de 60°.

m(∡PEF) = 180° - m(∡DEF) = 180° - 120° = 60°

DP înălțime ⇒ în ΔPEF dreptunghic

⇒ m(∡PFE) = 180° - 90° - 60° = 30°

⇒ m(∡PFD) = m(∡HFD) = m(∡EFD) + m(∡PFE) = 30° + 30° = 60°

⇒ ΔHDF isoscel cu un unghi de 60°

⇔ ΔHDF echilateral

Știm că într-un triunghi echilateral liniile importante duse din același vârf coincid.

cum DP, FN și HM sunt înălțimi (prin construcție) ⇒ DP, FN și HM sunt și mediane în ΔHDF

⇒ E este centrul de greutate al ΔHDF

Știm că centrul de greutate se află pe mediană la două treimi de vârf și o treime de bază.

⇒ EM = HM / 3

⇔ HM = 3 · EM

HM = 3 · 4 cm = 12 cm

Răspunsul final:

distanța de la ortocentrul ΔDEF la mijlocul lui DF este HM = 12 cm