Punctul P se aflà la 10 m
de dreptele AB si AC.
Calculeazà AP.
Răspunsuri la întrebare
Să vedem ce înseamnă că „punctul P se află la 10 m de dreptele AB și AC”.
Știm că distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului dintre acel punct și piciorul perpendicularei duse prin el pe dreaptă.
Notăm cu M și N picioarele perpendicularelor duse din P pe AC, respectiv AB. Ai figura atașată.
Enunțul ne spune așadar că MP = NP = 10 m.
Folosim unghiurile scrise pe figură și vedem ce rezultă:
1. în ΔABC avem:
m(∡CAB) = 180° - m(∡ACB) - m(∡ABC) = 180° - 20° - 100°
m(∡CAB) = 60°
60° e o valoare interesantă, deoarece, dacă reușim să demonstrăm că AP este bisectoarea ∡CAB, atunci avem ΔMAP și ΔNAP dreptunghice cu un unghi de 30°, în care cateta opusă ∡ de 30° (MP, respectiv NP) = jumătate din ipotenuza AP.
2. analizăm ΔMAP și ΔNAP dreptunghice în M, respectiv N:
AP ipotenuză, lat. com. }
MP ≡ NP = 10 m } ⇒ (cazul I.C.) ΔMAP ≡ ΔNAP
Știm că unghiurile opuse laturilor congruente sunt, la rândul lor, congruente.
⇔ ∡MAP ≡ ∡NAP ⇒ AP bisectoarea ∡CAB
⇒ m(∡MAP) = m(∡NAP) = m(∡CAB) / 2 = 60° / 2 = 30°
⇒ în ΔMAP avem MP catetă opusă unghiului de 30°
⇒ MP = AP / 2
⇒ AP = 2 · MP = 2 · 10 m = 20 m
Răspuns final: AP = 20 m
