Question

demonstrati ca (1^n+2^n+3^n+4^n) se divide cu 10, pentru orice n e N, n nu este divizibil cu 4

Answer 1

(1^n+2^n+3^n+4^n) ; n∈N si n≠4k; k∈N

1.  n=4k+1

=> u(1^n+2^n+3^n+4^n)=u(1+2+3+4)=u(10)=0

=> (1^n+2^n+3^n+4^n) este divizibil cu 10 pentru n=4k+1

2.  n=4k+2

=> u(1^n+2^n+3^n+4^n)=u(1^2+2^2+3^2+4^2)=u(30)=0

=> (1^n+2^n+3^n+4^n) este divizibil cu 10 pentru n=4k+2

3.  n=4k+3

=> u(1^n+2^n+3^n+4^n)=u(1^3+2^3+3^3+4^3)=u(100)=0

=> (1^n+2^n+3^n+4^n) este divizibil cu 10 pentru n=4k+3

Deci, (1^n+2^n+3^n+4^n) este divizibil cu 10 pentru orice n∈N ; n≠4k