Question

Demonstrati ca 2^1+2^2+2^3+....+2^81 nu este patrat perfect

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Avem 81 de termeni. Fiecare grup consecutiv din 4 termeni au ca suma a ultimelor cifre 0, deoarece in grup avem ultimele cifre numerele 2,4,8,6

U(grup)=U(2+4+8+6)=U(20)=0

81:4=20 rest 1, deci avem 20 de grupe din 4 termeni si ultimul termen 2^81

U(2⁸¹)=U(2¹)=2

Decu U(2^1+2^2+2^3+....+2^81)=U(0+2)=2

Dar ultima cifra a unui patrat perfect poate fi din  {0,1,4,9,6,5}

2∉{0,1,4,9,6,5}, deci  2^1+2^2+2^3+....+2^81 nu este patrat perfect

Answer 2

Răspuns:

Ultima cifra a sumei date este 2. Un număr care are ultima cifra 2 nu este pătrat perfect.

Explicație pas cu pas:

*Un număr este pătrat perfect dacă poate fi scris ca un număr la puterea a doua.

*Daca ultima cifra a unui număr este 2;3;7 sau 8 , numărul nu poate fi pătrat perfect.

*Exercitiul dat este o suma de puteri consecutive ale lui 2. Probabil ai lucrat deja aceasta suma la capitolul puteri. Dacă nu, te ajut sa o calculezi.

*Scriem exercitiul dat , notând suma cu S. Inmultim suma cu 2=> vom obține 2S . Tot ceea ce trebuie sa facem apoi este sa scadem 2S-S , observam ca termenii se vor reduce , iar la final rămâne S=2 la puterea 82-2.

*Acum calculam ultima cifra a sumei . Trebuie doar sa vedem care este ultima cifra pentru 2 la puterea82. Puterile lui 2 se repeta din 4 in 4. Împărțind 82 ( puterea lui2) la 4 rezulta 20 rest 2. => ultima cifra a lui 2 la puterea 82 este aceeași cu ultima cifra a lui 2 la puterea 2 adică 4.

*Revenin la suma =>U(s)=4-2=2

*Am obținut ultima cifra a sumei 2. Dar ,dacă un număr are ultima cifra 2 , numărul nu poate fi pătrat perfect.

Rezolvarea este in imagine.

Sper sa înțelegi rezolvarea și sa îți fie utila .

Multă bafta!