Question

Demonstrați că √5 este număr irațional. (prin absurd)


Mulțumesc ! ​

Answer 1

Cerinta: Demonstrati ca radical din 5 este numar irational, prin absurd

Rezolvare:

Presupunem prin absurd ca $\sqrt{5}$ este rational => ∃ numerele m, n ∈ N, prime intre ele (a.k.a (m, n) = 1), a.i. $\sqrt{5} = \frac{m}{n}$

$\sqrt{5} = \frac{m}{n} /^{2} \\5 = \frac{m^{2}}{n^{2}} \\5n^{2} = m^{2}$

Cum m si n sunt prime intre ele => 5 | m (5 il divide pe m)

Fie p ∈ N

$m = 5p < = > m^{2} = 25p^{2} < = > 5n^{2} = 25p^{2} < = > n^{2} = 5p^{2}$

Cum m si n sunt prime intre ele si p este divizor al lui n, inseamna ca n si p sunt si ele prime intre ele, asadar 5 | n (5 il divide pe n)

Dar am demonstrat anterior ca 5 | m (5 il divide pe m) => m si n nu sunt prime intre ele

Am ajuns la o concluzie falsa => ipoteza initiala este falsa => $\sqrt{5}$ nu este numar rational, atunci este numar irational