Question

Demonstrati ca dacă p și q sunt doua numere naturale prime mai mari decât trei,p>q, atunci numărul p^2-q^2 este divizibil cu 12.
Dau Coroana!!!!!

Answer 1

p si q >3 prime => p si q sunt impare => p+q si p-q pare =>
=> (p+q)(p-q) div cu 4 => p²-q² div cu 4
p²-q²=(p+q)(p-q) 
daca p si q dau acelasi rest prin imp la 3 => p-q se divide cu 3
p si q nu pot fi div cu 3 deoarece sunt prime
deci ramane situatia cand unul da rest 1 si celalalt rest 2 (prin imp la 3)
daca p=M3+1 si q=M3+2 => p+q=M3+3=M3
(M3 = multiplu de 3)
la fel daca p=M3+2 si q=M3+1
deci p²-q² e multiplu de 3

fiind multiplu de 4 si de 3, dearece (4,3)=1 (cmmdc)
=> e multiplu si de 4*3=12

O zi buna!