Question

Demonstrati ca daca x,y,z sunt nr. reale,pozitive si nenule si x+y+z=1 atunci
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y } + \frac{1}{z } \geqslant 9$
​

Answer 1

Salut,

Cum numerele x, y și z sunt reale și strict pozitive, putem aplica inegalitatea mediilor, adică media lor aritmetică Ma este mai mare sau egală decât media lor geometrică:

$M_a\geqslant M_g\Leftrightarrow\dfrac{x+y+z}3\geqslant\sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}\Rightarrow x+y+z\geqslant 3\cdot\sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}\ (1).$

Similar, cum numerele 1/x, 1/y și 1/z sunt reale și strict pozitive, putem aplica inegalitatea mediilor, adică media lor aritmetică Ma este mai mare sau egală decât media lor geometrică:

$M_a\geqslant M_g\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{1}x+\dfrac{1}y+\dfrac{1}z}3\geqslant\sqrt[3]{\dfrac{1}x\cdot\dfrac{1}y\cdot\dfrac{1}z}\Rightarrow \dfrac{1}x+\dfrac{1}y+\dfrac{1}z\geqslant 3\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}x\cdot \dfrac{1}y\cdot \dfrac{1}z}\ (2).$

Dacă înmulțim inegalitățile (1) și (2) membru cu membru, atunci obținem:

$\underbrace{(x+y+z)}_{=\ 1}\cdot\left(\dfrac{1}x+\dfrac{1}y+\dfrac{1}z\right)\geqslant 9\sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}x\cdot\dfrac{1}y\cdot\dfrac{1}z}\Leftrightarrow\\\\\\\dfrac{1}x+\dfrac{1}y+\dfrac{1}z\geqslant 9\cdot\dfrac{\sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}}{\sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}}\Rightarrow \dfrac{1}x+\dfrac{1}y+\dfrac{1}z\geqslant 9,\ \text{ceea ce trebuia demonstrat.}$

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.