Question

demonstrati ca f:R\{1} - R \ {-2} , f(x)=2x+1\1-x este bijectiva

Answer 1

Răspuns

asa este !

Explicație pas cu pas:

(2x+1)/(-x+1)=(2x-2+3)/(-x+1)=(2x-2)/(-x+1)+3/(-x+1`)=-2+3/(-x+1)

-x+1 functiede grad1 , bijectiva

1/(-x+1) bijectiva ca fiind alcatuita din inversele valorilor unei functii bijective; acestae exisat si sunt unice pe R\{1}

3* 1/(-x+1) bijectiva..inmultirea cu o constanta nu nu modifica bijectivitatea

-2+3/(-x+1) insumarea algebrica a constantei -2 nu modifica bjectivitatea

altfel

f'(x) =(2-2x+2x+1)/((-x+1)²=3/(x-1)²>0 ∀ x ∈R\{-1} f(x) crescatoare, deci injectiva

lim cand x->∞ dinf(x) =limcand x->-∞ din f(x) =-2

lim cand x->1,x<1=3/+0=∞

lim cand x->1, x>1=3/-0=-∞

deci f(x) surjectiva pe R\{-2}

deci f(x) injectiva si surjectiva, f(x) bijectiva

Answer 2

Pentru a demonstra ca o anumita functie f este bijectiva,este nevoie sa demonstram ca este injectiva si surjectiva.

Avem f:IR\{1} → IR \ {-2} , f(x)=(2x+1)/(1-x)

Injectivitate :

f-injectiva ⇔ Exista y ∈ IR astfel incat daca x=y ⇒ f(x)= f(y)

                    ↓

$\frac{2x+1}{1-x} =\frac{2y+1}{1-y} \\ \\ (2x+1)(1-y)=(2y+1)(1-x)\\ \\ 2x-2xy+1-y = 2y-2xy+1-x | +2xy-1\\ \\2x-y=2y-x\\\\ \\ \\  2x-2y-y+x=0\\ \\ 3(x-y)=0 \\\\x-y=0 \\ \\ x=y$  -A ⇒ f-injectiva (1)

Surjectivitate :

f-surjectiva ⇔ ∀ y ∈ IR\{-2},exista x ∈ IR\{1} a.i. f(x)=y (sau demonstrezi ca Imaginea functiei coincide cu codomeniul)

            ↓

$\frac{2x+1}{1-x} =y \\ \\ 2x+1=y-yx\\ \\ 2x+yx=y-1\\ \\ x(2+y)=y-1 \\ \\ x=\frac{y-1}{2+y} \\ \\=> 2+y\neq 0 <=> y\neq-2$ => y ∈ IR \{-2} = D(codomeniu) ⇒ f-surjectiva (2)

Din 1 2 ⇒ f-bijectiva