Question

Demonstrati ca n^3+5n se divide cu 6 oricare ar fi n apartine lui N nenul.

Answer 1

Se demonstreaza prin inductie completa.

Answer 2

n poate avea formele:
n=6m, ⇒ n^3+5n=6(36m^3+5m)
n=6m+1 ⇒ n^3+5n=6k+1+30m+5 ⇒ 6|6(k+5m+1)
n=6m+2 ⇒ n^3+5n=6p+8+30m+10 ⇒ 6|6(p+5m+3)
n=6m+3 ⇒ n^3+5n=6j+27+30m+15 ⇒ 6|6(j+5m+7)
n=6m+4 ⇒ n^3+5n=6t+64+30m+20 ⇒ 6|6(t+5m+14)
n=6m+5 ⇒ n^3+5n=6r+125+30m+25 ⇒ 6|6(r+5m+25)

am folosit relatia:
(a+k)^n=m*a+k^n, k∈N*