Question

Demonstrati ca nu exista numere de forma abc (cu bara deasupra)  , care sa verifice relatia : 
ab^2 - bc^2 = abc (toate cu bara deasupra ) :D 
Indicatii : avem ab^2 = 100a+bc(bc+1) . Din U (ab^2)  = { 0;1;4;9;6;5} . 
Merci anticipat ! E o problema mai grea intr-adevar, deci acord 20 de pct.

Answer 1

ab²-bc²=abc=>ab²=abc+bc²=>ab²=100a+bc+bc²=>
ab²=100a+bc(bc+1)
bc si bc+1 sun doua numere consecutive. Produsul a doua numere consecutive se termina in una din cifrele:0,2,6.
100a se termina in 0.
In concluzie, 100a+bc(bc+1) se termina in 0,2 sau 6=>ab² se termina in 0,2 sau6 .Analizam fiecare situatie;
1)ab² se termina in 0=>b=0(Fals deoarece cifra b nu poate fi 0)
2)ab² se termina in 2 (Fals deoarece orice numarul natural lapatrat se termina doar in 0,1,4,9,6,5 si nu in 2).
3)ab² se termina in 6=> b=4 sau b=6.Analizam ambele cazuri:
a)b=4=>a4²=100a+4c(4c+1)=>c este 2 sau 7
Daca c=2=>a4²=100a+42*43
(10a+4)²=100a+42*43
100a²-20a=1790|:10
10a²-2a=179(Fals deoarece membrul din stanga este par si cel din dreapta e impar)
Daca c=7=>a4²=100a+47*48
100a²-20a=2240|:10
10a²-2a-224=0
5a²-a-112=0
√delta=√4481∉N

b)b=6=>a6²=100a+6c(6c+1)=>c este 2 sau 7
Daca c=2=>a6²=100a+62*63
(10a+6)²=100a+62*63
100a²+20a=3870|:10
10a²+2a=387(Fals deoarece membrul din stanga este par si cel din dreapta e impar)
Daca c=7=>a6²=100a+67*68
100a²+20a=4520|:10
10a²-2a-452=0
5a²-a-226=0
√delta=√4521∉N

In concluzie, nu exista numere de forma abc , care sa verifice relatia : 
ab² - bc² = abc.