Question

Demonstrati ca numarul (3+$\sqrt{5}$)^2015 + (3-$\sqrt{5}$)^2015 este numar intreg si par

Answer 1

Să observăm mai întâi că, pentru urice numere a,b, are loc identitatea
$a^{n+2}+b^{n+2}=(a+b)(a^{n+1}+b^{n+1})-ab(a^n+b^n).$
De aceea, dacă notăm $x_n=(3-\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)^n,$
vom avea
$x_{n+2}=6x_{n+1}-4x_n,\forall n\in \mathbb{N}, cu \, x_0=2,x_1=6.$

De aici rezultă imediat concluzia, prin inducție.