Question

DemonstraTI CĂ NUMARUL a=(2n+1)(5n-3)(4n+1) este divizibil cu 3 oricare ar fii n ∈ N

Answer 1

a = [ ( 2 n + 1) · 5n   -3 ·( 2n +1 ) ] · ( 4n +1 )  = 
= 5n · ( 2n +1 ) · ( 4n + 1)        -           3 · ( 2n +1) · ( 4n +1) 
                                                          //////////////////////////////
                                           acest numar de forma 3 · k = este divizibil cu3 
pentru 5n · ( 2n +1) ·( 4n + 1) =
= 5n · ( 2n +1 ) [ 3n   + ( n + 1)]=
=5n · ( 2n +1) · 3n  + 5n·( 2n +1) ·( n +1) =
= 5 · 3 ·n²·( 2n+1)                  +        5n · ( 2n +1) ·( n+1) = 
//////////////////////////                            ( 3n +2n) · ( 2n+1) ·( n +1) =  
acest numar =3 ·t =                            = 3n · ( 2n+1)·( n +1) + 2n·( 2n+1)·( n +1) 
este divizibil cu 3                                          ↓                            ↓
                                                        acest numar                   2n, 2n+1  produs  
                                                     este divizibil                      de doua numere   
                                                             cu 3                          consecutive este                                                               3·m                                 divizibil cu3 
⇒  a = suma de forma 3·t + 3·m + 3·k + 2n·( 2n +1) ·( n+1) =
          = suma de nr. divizible cu 3