Question

Demonstrați ca numerele radical din 2,radical din 3 si radical din 5 nu se pot gasi printre termenii unei progresii aritmetice​

Answer 1

Presupunem prin absurd ca √2, √3 si √5 apartin aceeasi progresii aritmetice. Astfel, exisita m,n,p ∈ N, m≠n≠p astfel incat √2=a(m), √3=a(n) si √5=a(p)

√2=a1+(m-1)*r

√3=a1+(n-1)*r

√5=a1+(p-1)*r

√3-√2=(m-n)*r

√5-√2=(p-n)*r

==>  $\frac{\sqrt{3} -\sqrt{2} }{\sqrt{5} -\sqrt{2} } =\frac{m-n}{p-n}$

insa m-n/p-n apartine Q, dar cealalta nu, asa ca obtinem o contradictie..

deci cele 3 numere nu pot fi in aceeasi progresie aritmetica