Question

Demonstrati ca pentru orice n care apartine lui N , sunt adevarat urmaotoarele relatii : 
n la puterea a 3   -n se divide cu 6 . Va rog ajutati-ma :*

Answer 1

n^3 - n = n (n^2 -1) = n(n-1)(n+1)

Fiind produsul a trei numere consecutive, oricare ar fi n, cel putin unul dintre ele este multiplu de doi si exact unul este multiplu de 3.
Deci produsul lor este cu siguranta multiplu de 6, oricare ar fi n e N

Answer 2

$n^{3}-n=n(n ^{2} -1)=n(n-1)(n+1)$; n(n-1)(n+1) sunt numere consecutive  deci cel putin unul dintre ele este par ⇒ se divide cu 2.
In acelasi timp orice numar natural are forma 3k sau 3k+1 sau 3k+2; in cazul de fata ele fiind consecutive se vor divide si cu 3 astfel:
I. pt n=3k ⇒ 3k(3k-1)(3k+1) = 3p, se divide cu 3;
II. pt n=3k+1 ⇒ (3k+1)3k(3k+2) = 3m, se divide cu 3;
III. pt n=3k+2 ⇒ (3k+2)(3k+1)(3k+3) = 3(3k+2)(3k+1)(k+1) = 3n, se divide cu #.
Daca se divide si cu 2 si cu 3, conform proprietatilor divizibilitatii se divide si cu 6.