Question

Demonstrati ca, pentru orice numar natural nenul n, egalitatile urmatoare sunt adevarate. Ajutati-ma va rogggg

Answer 1

b) Relatia este adevarata pentru n=1
   $S=1^{2}=\frac{1*(1+1)*(2+1)}{6}=\frac{1*2*3}{6}=1$
  Presupunem ca este adevarata si pentru un nr k unde k e mai mic decat n
   $S=1^{2}+2^{2}+...+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$
  Acum trebuie sa demonstram ca este adevarat si pentru k+1. Avem atunci
   $S=1^{2}+2^{2}+...+k^{2}+(k+1)^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}=(k+1)(\frac{k(2k+1)}{6}+(k+1))=(k+1)*(\frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6})=(k+1)*\frac{2k^{2}+k+6k+6}{6}=(k+1)\frac{2k^{2}+3k+4k+6}{6}=(k+1)\frac{k(2k+3)+2(2k+3)}{6}=\frac{(k+1)*(k+1+1)(2*(k+1)+1)}{6}$
Deci relatia se respecta si pentru k+1, deci prin inductie matematica formula este demonstrata
c) Pentru n=1
  $S=1^{3}=(\frac{1(1+1)}{2})^{2}=(\frac{2}{2})^{2}=1^{2}=1$
  Facem acum presupunerea ca este adevarata si pentru un k<n
  $S=1^{3}+2^{3}+..+k^{3}=(\frac{k(k+1)}{2})^{2}$
  Atunci trebuie sa vedem cat va fi pentru urmatorul termen
  $S=1^{3}+2^{3}+..+k^{3}+(k+1)^{3}=(\frac{k(k+1)}{2})^{2}+(k+1)^{3}=(k+1)^{2}((\frac{k}{2})^{2}+(k+1))=(k+1)^{2}(\frac{k^{2}}{4}+(k+1))=(k+1)^{2}(\frac{k^{2}+4k+4}{4})=(k+1)^{2}*\frac{(k+2)^{2}}{4}=(\frac{(k+1)(k+1+1)}{2})^{2}$
care este exact relatia ce trebuie indusa pentru k+1. Deci prin inductie matematica inseamna ca este adevarata.