Question

demonstrați ca, pentru orice număr natural nenul n numărul 189^n poate fi scris ca sumă a 3 pătrate perfecte ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

studiem două cazuri: n par și n impar

189 = 9 + 36 + 144 = 3² + 6² + 12²

189 = 2² + 8² + 11²

189 = 5² + 8² + 10²

n impar: n = 2k + 1

${189}^{2k + 1} = {189}^{2k} \cdot 189 = {189}^{2k} \cdot ( {5}^{2} + {8}^{2} + {10}^{2}) = \\ = \red{\bf {({189}^{k} \cdot 5)}^{2} + {({189}^{k} \cdot 8)}^{2} + {({189}^{k} \cdot 10)}^{2}}$

189² = (9×21)² = 81×21² = (1 + 16 + 64)×21² = 21² + 84² + 168²

189² = 4² + 19² + 188²

189² = 6² + 33² + 186²

n par: n = 2k

${189}^{2k} = {189}^{2k - 2} \cdot {189}^{2} = {({189}^{k - 1})}^{2} \cdot ( {6}^{2} + {33}^{2} + {186}^{2}) = \\ = \red{\bf {({189}^{k - 1} \cdot 6)}^{2} + {({189}^{k - 1} \cdot 33)}^{2} + {({189}^{k - 1} \cdot 186)}^{2}}$

q.e.d.