Question

demonstrati ca produsul a cinci nr naturale consecutive este multiplu de 60.

Answer 1

Daca demonstram ca este divizibil cu 3 cu 4 si cu 5 automat va fi divizibil cu 60 deoarece cmmdc(3,4,5)=1 iar 3*4*5=60
Divizibil cu 3:
Exista 3 resturi la impartirea cu 3 (restul<impartitorul): 0,1,2
5=3*1+2
Conform principiului lui Dirichlet exista cel putin 1+1=2 numere divizibile cu 3
Divizibil cu 4:
Exista 4 resturi la impartirea cu 4 (restul<impartitorul): 0,1,2,3
5=4*1+1
Conform principiul lui Dirichlet exista cel putin 1+1=2 numere divizibile cu 4
Divizibil cu 5:
Exista 5 resturi la impartirea cu 5 (restul<impartitorul): 0,1,2,3,4
5=5*1
In acest caz exista doar un numar divizibil cu 5
In 5 numere consecutive exista 2 numere divizibile 3; 2 numere divizbile cu 4 si un numar divizibil cu 5
Noi trebuie sa demonstram ca exista cel putin un numar divizibil cu 2;3;5
Cum 2>1 rezulta ca am demonstrat