Question

Demonstrați că produsul a trei numere naturale consecutive este un multiplu de 6 ​

Answer 1

Notam cu:

a - primul numar

a + 1  al doilea numar

a + 2 al treilea numar

a(a+1)(a+2) ⋮ 6

produsul celor trei numere naturale consecutive ca sa se divida cu 6 trebuie sa se divida simultan cu 2 si 3

Stim ca produsul oricaror doua numere naturale consecutive se divide cu 2 ⇒ a(a+1)(a+2) ⋮ 2 ⇒  a(a+1)(a+2)  = M₂

Stim ca prin impartirea unui numar natural la 3 se obtin resturile 0, 1, 2⇒ a va avea una din urmatoarele forme M₃, M₃+1, M₃+2

1) a = M₃ ⇒ a ⋮ 3 ⇒ a(a+1)(a+2) ⋮ 3,

         dar (2,3) =1 (sunt prime intre ele) ⇒ a(a+1)(a+2)⋮6⇒ a(a+1)(a+2) = M₆

2) a = M₃+1 ⇒ a+2 ⋮ 3 ⇒ a(a+1)(a+2)⋮3,

         dar (2,3) =1 (sunt prime intre ele) ⇒ a(a+1)(a+2)⋮6  ⇒ a(a+1)(a+2) = M₆

3) a = M₃+2 ⇒ a+1 ⋮ 3 ⇒ a(a+1)(a+2) ⋮ 3,

         dar (2,3) =1 (sunt prime intre ele) ⇒ a(a+1)(a+2)⋮6  ⇒ a(a+1)(a+2) = M₆

Din cele de mai sus ⇒ a(a+1)(a+2) este M₆ , ∀ a ∈ IN

 

!!! Observatii!!!

∀  - inseamna oricare

⋮ - inseamna divide

∈ - apartine

IN - multimea numerelor naturale