Question

Demonstrati ca:
sin 1° €R\Q.


In imagine este Ex.9;

Answer 1

Răspuns:

Astea par probleme de la facultatea de matematica din Bucuresti...

Presupunem ca sin(1) este rational. Atunci $sin^2(1)$ este rational.

Rezulta ca, $\cos(2)=\cos^2(1)-\sin^2(1)=1-2\sin^2(1)$ este rational.

In general, $\cos(2a)+\cos(2a-4)=2\cos(2)\cos(2a-2)$ (transformarea sumei in produs)

De aici, rezulta inductiv ca cos(2a) este rational pentru orice numar natural a. (Pentru a=0, cos(0)=1, pentru a=1, cos(2) e rational din ipoteza sin(1) rational, pentru a>=2 se aplica identitatea anterioara si ipoteza de inductie)

In particular, $cos(30)=\frac{\sqrt 3}{2}$ ar fi rational, contradictie!