Question

Demonstrati ca:
$1+3+5+...+(2n-1) = n^{2} , n \geq 1$

Answer 1

inductia  :     suma  de n  termeni  =  formula  
    1   +   3   +  5 +   .... +  ( 2n -1)   = n²  
                    suma de  n termeni 
daca  n =1   ; suma de 1 termen   , adica                1 = 1²  adevarat 
         n =2                   2                                       1 + 3 = 2²   adevarat 
        n = 3                   3                                   1 + 3 + 5 = 3²  adevarat 
 DECI , ex  adica propozitia P(1) ; P(2) ; P(3)  adevarat 
fie  k  ∈ N 
 cu  P( k)   : 1  + 3  + 5 +   .... + ( 2k -1) = k²  adevarat 
 dem . ca si  P ( k+1) : 1 + 3 + ..... + ( 2k -1)  + ( 2k +1)  = ( k +1)²
                                    ////////////////////////////
                               adevarat   = k² 
P( k +1) :                             k²    + 2k  +  1        =  ( k +1) ² adevarat 
⇒ ∀ n∈ N  , P(n)  adevarat