Question

Demonstrati ca :
 (u+v)^2= |u|^2 + 2 uv + |v|^2.
u si v sunt vectori

Answer 1

$(\vec{u}+\vec{v})^2=(\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}.$

Dar $\vec{u}\cdot\vec{v}=|u||v|\cos \alpha =\vec{v}\cdot\vec{u}$ .

Deci $(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}\cdot\vec{u}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v}$

În același timp, găsim identitățile:

$\vec{u}\cdot\vec{u}=|u|\cdot |u|\cdot\cos0=|u|\cdot |u|=|u|^2 \\ \\ \vec{v}\cdot\vec{u}=|v|\cdot |v|\cdot\cos0=|v|\cdot |v|=|v|^2$

În concluzie, $(\vec{u}+\vec{v})^2=|u|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|v|^2$