Question

Demonstrati ca urmatoarele numere sunt intregi:
a) A= 2 la 80-5*2 la 81+7*2 la 79
b) B= 3 la n+4*3 la n+1-5*3 la n+2.


Se considera suma S= 1/ radical din 2+1 + 1/ radical din 3 + rad. din 2 + 1/ rad. din 4+ rad din 3 + ...... + 1/ rad. din n+1 + rad. din n , unde n apartine de N stelat.
a) Calculati S, daca n=24
b) Determinati numarul natural n , astfel incat S=24
c) Determinati toate nr. nat. n, astfel incat S sa fie un nr. natural mai mic decat 24.

Sa se rezolve in R inecuatiile:
1. x+3/x-1<1
2. modul de x+1 + modul de 2-2x <6

Answer 1

a) A= 2 la 80-5*2 la 81+7*2 la 79= 2⁸⁰ - 5 · 2⁸¹ + 7· 2⁷⁹  = 2⁷⁹ ( 2¹  - 5·  2² + 7) =
         = 2⁷⁹· ( 2 - 20 + 7 ) = 2⁷⁹· ( -11 )  = - 11 · 2⁷⁹ ∈ Z
b) B= 3 la n+4*3 la n+1-5*3 la n+2.=( 3 la n )· ( 1  + 4 ·3 - 5 ·3² ) =
              = ( 3 la n ) ·( 1 + 12 - 45 ) = - 32 ·( 3 la  n ) ∈ Z 
2 .  1 / ( √2 + 1)  + 1 / (√3 +√2)  +1 / (√4 + √3 ) + .... + 1 / (√n + 1  + √n) =
= (√2 - 1 )  / (√2 +1) ·(√2 -1 )  +   ( √3 - √2) / ( √3+√2)·(√3 - √2) +  .. + 
                   ↓                                                       ↓
                   =(√2)² -1²=                          = (√3)²  -(√2)²=
                   = 2 -1 =1                                 = 3 -2 =1

+( √n+1  - √n)   / (√n+1 + √n ) ·(√n +1 - √n) 
                                ↓
                             = (√n +1)²  - (√n)² = n +1 - n = 1 

suma = √2 - 1  + √3 - √2 + √4 - √3 + ..... +√n - √n -1 +  √n+1   - √n
suma =  -1      + √ n +1
a .           S₂₄ = -1 + √24 +1 = -1 + √25 = -1 + 5 =  4 
b . S = 24  = -1 + √n +1         cu radacina   n∈ N
          24 +1 = √n +1 
          √n +1 = 25         ⇒ (√n +1) ² =25²          ; n +1 = 625 ; n =624
c.            S  < 24 
             ( -1 + √n +1 ) < 24       ;  √n +1 < 25 
                          n +1 < 25²       , n<624 
                      n ∈ { 1,2 .. , 624}
3a .         ( x +3)  / ( x -1 ) <1        ; ( x + 3 ) / ( x -1)    - 1   < 0 
 ( x +3  -x  + 1)  / ( x -1 )  < 0       ;          4 / ( x -1 ) < 0 
daca x -1 < 0         ;  x <1        ; x ∈ ( - ∞ ,1) 
3b.             I x +1 I + 2· I1- x I <6 
          studiu de semn   x         -∞          -1             1            +∞
                                -------------------------------------------------------------
                                Ix +1I          -          0   +          +         +
                                ------------------------------------------------------------
                               I 1 -x I        +          +             0    -         -
daca  x < -1             - x -1 +2 - 2x  < 6   ;   -3x < 5 ; 3x > -5 
                                             x > - 5 /3 
                                        solutia x ∈ ( - 5/3  ,  - 1)
daca x ∈ [- 1  , 1 ]             x +1 + 2  -2x < 6    ; -x <3  ; x > -3 
                                       solutia x ∈ [ -1 ,1 ] 
 daca x >1                   x+1 - 2 + 2x < 6       ; 3x < 7   ; x < 7 /3 
                                          solutia  x  ∈ ( 1 ,  7 /3) 
 solutia finala , pe cele trei cazuri  ; x ∈  ( - 5 /3  ,  7 /3 )