Question

Demonstrati ca [[x]/2]=[x/2] unde [a] reprezinta partea intreaga a lui a.
PUNCTELE VA ASTEAPTA

Answer 1

Analizam doua cazuri
Primul este cel in care [x] este par
Atunci notam [x]=2k, unde k$\in\mathbb{Z}$
$\Big[\frac{[x]}{2}\Big]=\Big[\frac{2k}{2}\Big]=[k]=k \\ \\ \Big[\frac{x}{2}\Big]=\Big[\frac{2k+\{x\}}{2}\Big]=\Big[k+\frac{\{x\}}{2}\Big]=k+\Big[\frac{\{x\}}{2}\Big]$
Stim ca partea fractionara a unui numar este cuprinsa intre 0 si 1, deci partea intreaga a lui {x}/2 este 0 si [x/2]=k
Si sunt egale

Al doilea este in care [x] este impar
Notam [x] = 2k+1
$\Big[\frac{[x]}{2}\Big]=\Big[\frac{2k+1}{2}\Big]=[k+0,5]=k \\ \\ \Big[\frac{x}{2}\Big]=\Big[\frac{2k+1+\{x\}}{2}\Big]=\Big[k+\frac{1+\{x\}}{2}\Big]=k+\Big[\frac{1+\{x\}}{2}\Big] \\ \\ 0\leq\{x\}<1 \\ \\ 1\leq1+\{x\}<2 \\ \\ 0,5\leq\frac{1+\{x\}}{2}<1 \\ \\ \Big[\frac{1+\{x\}}{2}\Big]=0 \\ \\ k+\Big[\frac{1+\{x\}}{2}\Big]=k+0=k$
Si iar sunt egale

In ambele cazuri sunt egale