Question

demonstrati e la puterea x mai mare sau egal cu x plus 1 pentru orice x aparţine mulţimii reale

Answer 1

$e^x \geq x+1\Leftrightarrow e^x-x-1 \geq 0$.
Fie functia $f:\mathbb{R} \to\mathbb{R},f(x)=e^x-x-1.$
f - derivabila pe R ca functie elementara, $f'(x)=e^x-1$.
$f'(x)=0 \Rightarrow e^x-1=0 \Rightarrow e^x=1 \Rightarrow x=0$. Facand tabelul de variatie, observam ca f este strict descrescatoare pe $\left ( -\infty, 0\right ]$ si strict crescatoare pe $\left [ 0, +\infty \right )$. Cum $f(0)=e^0-0-1=1-1=0 \Rightarrow f(x) \geq 0$, oricare ar fi x din R