Question

demonstrati folosind metoda inductiei matematice :
1² + 3² + 5² + ... + (2n− 1)² = n(4n²-1)/3
plss nu mi dau seama
urgent dau coroana(este si in poza)​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} +...+ (2n-1)^{2} = \dfrac{n(4n^{2} − 1)}{3}$

Demonstrație prin inducție matematică:

1. Etapa de verificare:

se verifică dacă propoziţia P(1) este adevărată:

$P(1) : 1^{2} = \dfrac{1 \cdot (4 \cdot 1^{2} − 1)}{3} \iff 1 = \dfrac{3}{3} \\ \iff 1 = 1 \ \ (A) \implies P(1) \ (A)$

2. Etapa de demonstrație:

se presupune că propoziţia P(k) este adevărată:

$P(k) \ (A) : \ 1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + (2n - 1)^{2} = \dfrac{k(4k^{2} − 1)}{3}$

şi se demonstrează că P(k+1) este adevărată:

$P(k+1) : \ \underbrace{1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + (2k - 1)^{2}}_{P(k)} + \Big[(2(k+1) - 1)\Big]^{2} =$

$= \dfrac{k(4k^{2} − 1)}{3} + (2k + 1)^{2} = \dfrac{4k^{3} − k + 3(4{k}^{2} + 4k + 1)}{3}$

$= \dfrac{4k^{3} + 12{k}^{2} + 11k + 3}{3}$

$\dfrac{(k + 1)\Big[4(k + 1)^{2} − 1\Big]}{3} = \dfrac{(k + 1)(4k^{2} + 8k + 3)}{3} =$

$= \dfrac{4 {k}^{3} + 8 {k}^{2} + 3k + 4 {k}^{2} + 8k + 3}{3}$

$= \dfrac{4 {k}^{3} + 12 {k}^{2} + 11k + 3}{3}$

$\implies 1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + (2k - 1)^{2} + \Big[(2(k+1) - 1)\Big]^{2} =$

$= \dfrac{(k + 1)\Big[4(k + 1)^{2} − 1\Big]}{3}$

$P(k+1) \ \ (A) \implies P(n) \ \ (A)$

q.e.d.