Question

Demonstrati inegalitatea​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

din inegalitatea:

$0 \leqslant x \leqslant y \implies x \leqslant m_{h} \leqslant y \\ x \leqslant \frac{2xy}{x + y} \leqslant y \iff - \frac{2xy}{x + y} \geqslant - y \\(x + y) - \frac{2xy}{x + y} \geqslant (x + y) - y \\ \frac{ {(x + y)}^{2} - 2xy }{x + y} \geqslant x \iff \frac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{x + y} \geqslant x$

idem pentru celelalte două relații =>

$\frac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{x + y} + \frac{ {y}^{2} + {z}^{2} }{y + z} + \frac{ {z}^{2} + {x}^{2} }{z + x} \geqslant x + y + z$

q.e.d.

Answer 2

(x²+y²)/(x+y)=(x+y)²-2xy/(x+y)=x+y-2xy/(x+y)

după model descompunem în continuarea

x+y+y+z+z+x-2xy/(x+y)-2yz/(y+z)-2zx/(z+x)

unde 2xy/(x+y)≥x

2yz/(y+z)≥y

2xz/(x+z)≥z

(x²+y²)/(x+y)+(y²+z²)/(y+z)+(x²+z²)/(z+x)≥

2(x+y+z)-(x+y+z)

(x²+y²)/(x+y)+(y²+z²)/(y+z)+

(x²+z²)/(z+x)≥x+y+z