Question

Demonstrati inegalitatile:
a)(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)≥64,∀a,b,c∈(0;+infinit)
c)(a²+bc)(b²+ac)(c²+ab)≤8/27,∀a,b,c∈(0;+infinit) astfel incat a²+b²+c²=1

d)(a+b)/(1+a+b)

Answer 1

a) e greşit (dacă a,b,c sunt foarte mari, membrul stâng tinde la 1).
b) Se foloseşte inegalitatea mediilor. Pe de o parte,
$a^2+bc \le a^2+\frac{b^2+c^2}{2}=\frac{a^2+1}{2},$
şi analoagele. Rezultă
$\prod (a^2+bc)\le \prod \frac{a^2+1}{2}.$
Pe de altă parte, 
$2=\sum \frac{a^2+1}{2}\ge 3\sqrt[3]{\prod\frac{a^2+1}{2}},$
de unde 
$\prod \frac{a^2+1}{2}\le \frac{8}{27}.$