Question

Determinati a apartine R pentru care ax^2+(a-1)x+a-1<0 oricare ar fi x apartine R.

Answer 1

Ca functia sa fie mai mica decat 0, trebuie sa indeplineasca 2 conditii:
- parabola sa fie concava, deci sa aiba "ramurile" in jos ==> a < 0 ==>
 a ∈ (-∞, 0)  (1)
- varful parabolei sa fie sub axa Ox ==> -Δ/4a < 0

Δ = (a - 1)² - 4a(a - 1) = a² - 2a + 1 - 4a² + 4a = -3a² + 2a + 1

 $\frac{-3a^2+2a+1}{4a} \ \textless \ 0$

Pentru a: Δ = 4 + 12 = 16 ==> √Δ = 4 ==> Solutiile sunt: 
(-2 + 4)/(-6) si (-2 - 4)/(-6) ==> -1/3 si 1
Fie g:R -> R = g(x) = -3a² + 2a + 1 (in inecuatia de mai sus)

Conform solutiilor: pe intervalul (-1/3, 1) functia este pozitiva, iar in rest, pe
(-∞, -1/3] ∪ [1, ∞) este negativa.

Daca facem tabelul de semne, impreuna cu 4a, vom afla ca: fractia de mai sus este mai mica decat 0 pe urmatoarele intervale: a ∈ (-1/3. 0) ∪ (1, ∞)  (2)

Vom intersecta conditiile (1) si (2) si vom afla ca a ∈ (-1/3, 0)