Question

Determinati:
a)ultimele doua zecimale ale numarului 31/2²°¹³;
b)ultimele trei zecimale ale numarului 11/2²°¹⁴.

Answer 1

O sa iti dau rezolvarea completa la punctul b) si faci si tu analog la a)
[tex]\frac{11}{2^{2014}}=\frac{8+2+1}{2^{2014}}=\frac{8}{2^{2014}}+\frac{2}{2^{2014}}+\frac{1}{2^{2014}}=\\ =\frac{2^3}{2^{2014}}+\frac{2^1}{2^{2014}}+\frac{1}{2^{2014}}=\frac{1}{2^{2011}}+\frac{1}{2^{2013}}+\frac{1}{2^{2014}} |\cdot10^{2014} \Rightarrow \\ \frac{11\cdot10^{2014}}{2^{2014}}=\frac{10^{2014}}{2^{2011}}+\frac{10^{2014}}{2^{2013}}+\frac{10^{2014}}{2^{2014}}=5^{2011}\cdot10^3+5^{2013}\cdot10+5^{2014}\\ [/tex]
Observam ca primul termen are ultimele cifre 000.
Al doliea termen are ultima cifra 0, si penultimele doua date de puterea 2013 a lui 5. Dar orice putere a lui 5 mai mare sau egala cu 2 are  ultimele doua cifre 25. Deci ultimele 3 cifre ale celui de-al doilea termen sunt 250.
Al treilea termen are ultimele 3 cifre date de puterile lui 5. Observam ca ultimele 3 cifre ale unei puteri a lui 5 sunt fie 125, daca e×ponentul este impar, fie 625 daca e×ponentul este par. Acest lucru se verifica usor prin calcul. Cum 2014 este par ultimele 3 cifre ale numarului 5^{2014} sunt 625.
In concluzie, ultimele 3 cifre ale numarului $\frac{11\cdot10^{2014}}{2^{2014}}$ sunt:
...000+...250+...625=875. 
Numarul $\frac{11\cdot10^{2014}}{2^{2014}}$ este intreg si are ultimele 3 cifre 825. Daca il impartim acum la $10^{2014}$ obtinem numarul initial, care va avea aceleasi cifre, in aceeasi ordine, doar ca ducem o virgula de la dreapta la stanga, cate o cifra pentru fiecare putere a lui 10. Evident, la un moment dat vom avea nevoiie si de cateva zerouri, insa ultimele 3 zecimale ale numarului considerat vor fi cu siguranta 875.

Indicatie pentru a): Il scrii pe 31=16+8+4+2+1 si aplici aceeasi metoda. Trebuie sa-ti dea 75.