Question

Determinati cati din dintre divizorii numarului 2016^{10} sunt multiplii a lui 126^{8}

Answer 1

deoarece 2016 este 126*16
rezulta ca 2016^2=126^2 * 16^2
deoarece 16 se descompune in factori primi, numai in 2 (16=2*2*2*2)
iar 126 are in descompunerea sa si 3 (126/3=42)

inseamna ca 16 la orice putere nu va fi divizibil cu 126

deci 2016^10=126^10 * 16^10
2016^10= 126^8 * 126^2 * 16^10
rezulta ca
2016^10 se imarte la 126^8, 126^8 *2, 126^8*3....

rezulta ca multiplii de 126^8 care sunt diviori ai lui 2016^10 pot fi toti divizorii numarului 126^2 * 16^10

rezulta ca numarul de multiplii ai lui 126^8 care de asemenea sunt devizori ai lui 2016^2 este egal cu numarul de divizori ai numarului 126^2 * 16^10

numarul divizorilor unui numar se afla dupa exemplul:
6=2^1 * 3^1=(1 de la 2^1+1)(1 de la 3^1+1)=2*2=4

iar numarul 126=2* 3^2 *7
126^2=2^2 * 3^4 * 7^2
iar 16=2^4
16^10=2^40

deci 126^2 * 16^10=2^2 * 3^4 * 7^2 * 2^40 = 2^42 * 3^4 * 7^2
deci numarul divizorilor acestui numar este
(42+1)(4+1)(2+1)=43*5*3=43*15=645 de divizori

deci numarul de multiplii ai lui 126^8 care sunt divizori ai lui 2016^10 este de
645 divizori multiplii de 126^8