Question

Determinati catul si restul impartirii numarului a=1+2+2 la puterea 2+2 la puterea a 3 +2 la puterea a 4 +....................+2 la puterea a 2014 la 15

Answer 1

a = 1 + 2 + 2² +2³ + 2⁴  +  ...... +  2²⁰¹⁴     I  inmultim cu 2 

2a =              2  + 2² + 2³ + 2⁴ + ....         + 2²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵   si scadem  prima , a 
- a =   -1    - 2 -    2²  - 2³  -2 ⁴  -  ............ - 2 ²⁰¹⁴
------------------------------------------------------------------------------------
2a -a  =  -1                                                    + 2 ²⁰¹⁵ 
 a = 2²⁰¹⁵  - 1 
2¹ =2   ;          2² =4         ; 2 ³ =8          ;2⁴ =16          ultima cifra 
2⁵ =32             2⁶ =64        2⁷=128          2⁸ = ... 6          
daca aceste puteri ale lui 2  se  impart  la 15 au restul 
  ↓                        ↓               ↓                      ↓
r=2                   r =4               r=8          r = 1 
                                               ↓ numarul este de acesta forma 
                                               ↓   
2²⁰¹⁵ = ( 2 ⁵⁰³ )⁴ ⁺ ³  =  2 ³ = .......8    + 8 
                                                        ↓= rest