Question

determinati cel mai mare numar n astfel incat (1 inmultit cu 2 inmultit cu 3...inmultit cu 100)se divide cu 3 la puterea n

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Fie A= (1×2×3×...×99×100) / 3^n

3^1=3

3^2=9

3^3=27

3^4=81

iar 3,9,27,81 € A => 3^(1+2+3+4) =3^10 €A

3×11=33 } ...........

3×2=6 3×12=36 } 3×33=99 € A

3×4=12 3×13=39 }

3×5=15 3×14=42 }

3×6=18 3×15=45 } €A

3×7=21 3×16=48 }

3×8=24 3×17=52 }

3×10=30 3×18=55 }

Nr 3,9,27,81 = 3^10

33-4 =29 => Mai există 3^29 €A

Deci, 3^29 ×3^10 =3^39 =>

=> A= 1 ×2 × 3 ×...×100 = 3^ 39 ×1 ×2 ...×33

3×6 = 3×3×2=18

3 ×12 = 3× 3× 4=36

3×15 = 3 ×3 × 5 =45

3×18 = 3 × 3× 6 =54

3 ×21 = 3 ×3 ×7 =63

3×24 = 3 ×3 × 8 =72

3× 30 =3 × 3 ×10 =90

3 × 33 =3 × 3 ×11 =99

3^39 × 3^8 = 3^47

A= 3^47 ×(1×2×1×4×.....) /3 ^n => 3^n / 3^47 <=>

<=> n= 47 €N

Sper că l-am nimerit.